說(shuō)到量子研究，就不得不從頭開(kāi)始說(shuō)起，這上百年幾十年的歷程不是輕松可以幾句話說(shuō)完的，畢竟對(duì)于大部分人而言，不懂啊!好吧，那么就聽(tīng)小編慢慢講起。

故事要從19世紀(jì)末開(kāi)始說(shuō)起。

1879年，物理學(xué)家埃德溫·霍爾(Edwin Hall)在一項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性的實(shí)驗(yàn)中，首次發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)磁場(chǎng)垂直地作用在一個(gè)金屬條上時(shí)，會(huì)導(dǎo)致電子聚集在金屬條的兩端，使金屬中的電流發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成可測(cè)量的電壓。這種現(xiàn)象被稱為霍爾效應(yīng)，而產(chǎn)生的垂直于電流方向的電壓，被稱為霍爾電壓。

經(jīng)典霍爾效應(yīng)是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所造成的簡(jiǎn)單結(jié)果：當(dāng)導(dǎo)體上有一個(gè)沿x-方向的恒定電流(I)，z-方向存在恒定磁場(chǎng)(B)，那么在y-方向上將產(chǎn)生電壓(V)。

不過(guò)，經(jīng)典霍爾效應(yīng)并非是這篇文章的主題。我們今天要說(shuō)的，是在一個(gè)世紀(jì)之后被意外發(fā)現(xiàn)的霍爾效應(yīng)的量子版本——量子霍爾效應(yīng)。

量子霍爾效應(yīng)。| 圖片參考來(lái)源：Nature

1980年，德國(guó)物理學(xué)家克勞斯·馮·克利青(Klaus von Klitzing)在進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。他將原子級(jí)厚的晶體材料于低溫下暴露在強(qiáng)磁場(chǎng)中，發(fā)現(xiàn)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，金屬電導(dǎo)的增加并不像經(jīng)典物理學(xué)所預(yù)測(cè)的那樣平滑地漸進(jìn)增長(zhǎng)，而是呈量子化的逐階上升。

馮·克利青意識(shí)到，在這種情況下，霍爾電阻值與兩個(gè)基本常數(shù)相關(guān)，其中一個(gè)是普朗克常數(shù)h，另一個(gè)是電子電荷e：量子化的霍爾電阻值整數(shù)倍正比于h/e²。

量子霍爾效應(yīng)有兩種，分別是整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，圖中顯示的是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。

1982年，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家霍斯特·施特默(Horst Störmer)和崔琦(Daniel Tsui )發(fā)現(xiàn)了更令人疑惑的現(xiàn)象，他們?cè)诟偷臏囟群透鼜?qiáng)的磁場(chǎng)下，發(fā)現(xiàn)霍爾電導(dǎo)會(huì)以先前觀察到的結(jié)果的分?jǐn)?shù)倍量子化。這就好像電子以某種方式分裂成了更小的粒子，每個(gè)粒子都攜帶了電子的一小部分電荷。

分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。

可以說(shuō)，量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著凝聚態(tài)物理學(xué)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。迄今為止，與量子霍爾效應(yīng)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)和理論工作，已收獲了三個(gè)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，分別授予了發(fā)現(xiàn)整數(shù)霍爾效應(yīng)的馮·克利青(1985年);發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)霍爾效應(yīng)的施特默和崔琦，以及理論物理學(xué)家羅伯特·勞夫林(Robert Laughlin)(1998年);以及用拓?fù)鋵W(xué)對(duì)量子霍爾效應(yīng)作出了解釋的物理學(xué)家戴維·索利斯(David Thouless)，鄧肯·霍爾丹(Duncan Haldane)，以及邁克爾·科斯特立茨(Michael Kosterlitz)(2016年)。

量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)發(fā)生在上世紀(jì)80年代，它們都是先源于實(shí)驗(yàn)，之后才發(fā)展出了相關(guān)的理論。當(dāng)時(shí)的物理學(xué)并不能完全解釋為何電阻會(huì)隨著磁場(chǎng)變化發(fā)生這種離散式的跳躍變化。而索利斯就利用拓?fù)涞母拍钕虍?dāng)時(shí)有關(guān)材料導(dǎo)電性原理的理論發(fā)起了挑戰(zhàn)，提出了突破性的新理論。

拓?fù)鋵W(xué)描述的是，一個(gè)物體除非被撕裂，不然無(wú)論被如何拉伸、扭曲或者畸變，都會(huì)維持不變。在拓?fù)鋵W(xué)中，球和碗是屬于相同范疇;中間有孔的甜甜圈和手柄處有孔的咖啡杯則屬于另一個(gè)范疇，相同范疇的物體之間才能相互轉(zhuǎn)換，不同范疇的物體之間則不能。這與量子霍爾效應(yīng)的情形有點(diǎn)類似：即使材料中存在著雜質(zhì)，電導(dǎo)也不會(huì)改變。因此，含有空洞的個(gè)數(shù)為一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)……的這些拓?fù)湮矬w，就被“借”用來(lái)描述量子霍爾效應(yīng)中的導(dǎo)電現(xiàn)象。

索利斯等人將拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合到物理的材料學(xué)研究中，不僅對(duì)神秘的量子霍爾效應(yīng)背后的理論做出了闡釋，也開(kāi)啟了人們對(duì)拓?fù)浣^緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體和拓?fù)浣饘俚热缃駸衢T的課題的研究。在過(guò)去的十年多里，與拓?fù)洳牧舷嚓P(guān)的技術(shù)一直處于凝聚態(tài)物理研究的前沿?？茖W(xué)家也希望拓?fù)洳牧夏鼙桓玫貞?yīng)用于新一代的電子原件、超導(dǎo)體，或未來(lái)量子計(jì)算機(jī)中。

然而，數(shù)學(xué)家似乎并不能滿足于索利斯等人對(duì)量子霍爾效應(yīng)做出的解釋。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，其背后的機(jī)制仍屬于未解之謎。2015年，加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家斯皮里宗·米哈拉基斯(Spyridon Michalakis)和微軟的物理學(xué)家馬修·海斯廷斯(Matthew Hastings)發(fā)表了一項(xiàng)為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。他們從2008年開(kāi)始一同研究這一問(wèn)題，其最終解決方案同樣是基于數(shù)學(xué)中的拓?fù)鋵W(xué)。

理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家深知，幾何物體的平均曲率具有拓?fù)湫再|(zhì)，且微小的局部變形會(huì)改變局部的曲率。但是，若要將拓?fù)溆糜诮忉屃孔踊幕魻栯娮?，就必須?duì)做出以下兩種假設(shè)中的一種：要么是假設(shè)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)空間的整體圖景等同于局域圖景，要么是假設(shè)系統(tǒng)中的電子不發(fā)生相互作用。而第一個(gè)數(shù)學(xué)假設(shè)的問(wèn)題是——它可能是錯(cuò)誤的;而第二個(gè)物理假設(shè)的問(wèn)題是——它是不現(xiàn)實(shí)的。

而米哈拉基斯和海斯廷斯卻成功地在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和量子霍爾效應(yīng)之間建立了堅(jiān)不可摧的聯(lián)系。他們用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯(lián)系了起來(lái)，成功的擺平了這些假設(shè)。

他們的證明過(guò)程非常復(fù)雜，在經(jīng)過(guò)反復(fù)的修改和編輯后，于2009年提交了一份長(zhǎng)30頁(yè)的證明，但由于專家們花了很長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)理解這些結(jié)果，所以直到2015年，這個(gè)證明才在正式發(fā)表。而直到2018年，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們正式承認(rèn)這個(gè)證明。

米哈拉基斯和海斯廷斯的論文。

然而，故事還沒(méi)有結(jié)束。拓?fù)鋵W(xué)受到了越來(lái)越多物理學(xué)家的青睞，比如現(xiàn)在物理學(xué)家和拓?fù)鋵W(xué)家會(huì)合作研究分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。

1939年，量子物理的創(chuàng)始人之一保羅·狄拉克(Paul Dirac)在一次演講中曾說(shuō)：“純數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間的聯(lián)系正在變得越來(lái)越緊密。”他甚至認(rèn)為，這兩門學(xué)科可能最終會(huì)合二為一，使純數(shù)的每一個(gè)分支都有它的物理應(yīng)用。

這種觀點(diǎn)自然引起了一些純數(shù)學(xué)家的不滿，因?yàn)檫@聽(tīng)起來(lái)仿佛在說(shuō)物理學(xué)家只是將數(shù)學(xué)視為他們研究自然世界的工具一樣。雖然狄拉克的話或許值得商榷，但純數(shù)學(xué)與物理學(xué)的結(jié)合的確可以帶來(lái)意想不到的收獲，量子霍爾電阻的數(shù)學(xué)證明就是最佳的例證。

40年量子飛躍的歷程，相信大部分人還是沒(méi)怎么看懂，不過(guò)這不重要，有一句話叫做遇事不決量子力學(xué)，我們看不懂，完全是因?yàn)榱孔拥腻e(cuò)。